통계물리학 이야기 #4. 멱함수로 보는 세상 by ESC

통계물리학 이야기 #4. 멱함수로 보는 세상

ESC · 변화를 꿈꾸는 과학기술인 네트워크

2023/08/21

여러분 안녕하세요. 지난번 글(#3. 통계물리학으로 보는 인플루언서)에서는 복잡계 네트워크에서 연결선 수의 분포는 멱함수 y=x^(a)를 따르며, 유난히 연결선 수가 많은 허브 즉, 인싸가 존재한다는 점을 소개해 드렸습니다. 오늘은 멱함수가 왜 그렇게 특별한지 소개해 드리면서, 복잡계 네트워크뿐만 아니라 멱함수가 발견되는 예시를 몇 가지 소개해 드리겠습니다.

멱함수의 특징을 이해하기 위해 우리가 많이 접하는 정규분포와 비교해 보려고 합니다. 우리가 학교나 군대, 직장 등에서 신체검사 또는 건강검진을 받으면 키, 몸무게 등을 측정합니다. 이렇게 측정한 키의 분포를 나타내면, 그러니까 150cm는 몇 명, 160cm는 몇 명, 170cm는 몇 명인지 그래프로 그리면 어떤 모양이 나올까요? 그림 1은 한국인 4,545명의 키 분포도입니다. 왼쪽은 4,545명 전체의 분포이고, 오른쪽은 성별에 따라 구분해 그렸습니다. 정규분포를 흔히 종 모양처럼 생겼다고 합니다. 성별에 따라 구분해서 그리면 종 모양이 좀 더 뚜렷합니다.

1. 어떤 값이 분포를 가장 잘 대표할까?

이러한 종 모양의 정규분포에서는 가운데에 가장 많은 사람이 있고, 양 끝으로 갈수록 사람이 줄어듭니다. 그러니까 평균 근처에 많은 사람이 몰려있습니다. 사람들은 대부분 평균과 비슷한 키를 가집니다. 그렇기 때문에 정규분포처럼 왼쪽과 오른쪽이 대칭적으로 생긴 분포에서는 평균이 이 분포를 대표한다고 여길 수 있습니다. 여성과 남성의 키를 비교하려면 각각의 분포를 대표한다고 여길 수 있는 평균값을 비교하면 비교가 수월합니다. 여성의 키는 약 160cm가 평균이고, 남성은 약 173cm가 평균입니다. 남성은 ‘평균적으로’ 여성보다 키가 더 큽니다. 모든 남성이 모든 여성보다 키가 큰 것은 아니지만, ‘대체적으로는’ 그렇습니다. 이러한 비교는 그림 1 오른쪽에도 잘 나타나 있습니다.

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