x^n + y^n +... = K (n은 자연수) 같은 형태의 부정 다항 방정식의 해 중, 정수해 x, y,... 를 찾는 방정식을 디오판투스 방정식 (Diophantine equation)이라고 한다. 잘 알려진 케이스는 피타고라스 정리 3^2 + 4^2 = 5^2 같은 이차 방정식의 정수해 조합이고, 보다 어려운 케이스로는 페르마의 마지막 정리로 유명한 x^3 + y^3 = z^3 같은 방정식이 있다. 물론 페르마의 마지막 정리는 1993년에야 앤드류 와일즈에 의해 증명되었다 (즉, x^3 + y^3 = z^3을 만족하는 정수해 [x, y, z]는 존재하지 않는다는 것.). 

방정식 모양이 비교적 간단하고, 해의 특성을 정수로 한정지었기 때문에 금방 이해할 수 있지만 사실 페르마의 정리를 비롯하여 고차 다항식의 정수 해를 찾는 것은 매우 어려운 문제다. 페르마의 마지막 정리에 흥미를 가져 디오판토스 방정식의 여러 유형을 연구한 유명 수학자 중에는 오일러가 있다. 오일러는 페르마의 마지막 정리를 증명하지는 못 했지만, n이 4일 경우 x^n + y^n = z^n을 만족하는 정수 쌍은 존재하지 않음을 증명했다. 이에 천착한 1769년 오일러는 재미있는 추측을 하나 발표했다. 

'0이 아닌 정수의 n제곱의 합이, 0이 아닌 다른 정수의 n제곱이 되게 하려면 n개 이상의 수가 필요하다' 

이 추측은 x1^n + x2^n +... + xk^n = y^n의 디오판토스 방정식의 정수 쌍 해가 존재하려면 k가 n보다 크거나 같아야 할 것이라는 뜻이다. 

예를 들어 3^2 + 4^2 = 5^2는 기하학적으로 보면 2차원 평면 상에 놓인 직각삼각형의 각 변의 관계식으로 해석할 수 있다. 2차원이니까 지수도 2, 그리고 좌변의 항도 2개인 것이 자연스러워 보인다. 3차원 공간이면 어떨까? 3^3 + 4^3 + 5^3 = 6^3의 관계식이 성립하므로 지수도 3, 좌변의 항도 3개인 것이 자연스러워 보이지 않을까? 4차원이면 어떨까? 유감스럽게도 3^4 + 4^4 + 5^4 + 6...