앙리 푸엥카레 (Jules-Henri Poincaré, 1854-1912)는 19세기말-20세기초 사이에 활약했던 프랑스의 수학자이자 물리학자였습니다. 수학자로서의 그의 명성은 여러 분야에서 정말 지대한데, 특히 그는 위상수학과 대수기하학의 아버지로도 불립니다. 그런데, 사실 그는 카오스(chaos)와 복잡계 과학(complexity science)의 아버지로도 불리는 수학자이기도 합니다. 그도 그럴 것이, 그가 평생 깊이 연구했던 주제 중 하나가 바로 미분방정식이기 때문입니다. 푸엥카레가 소르본 대학에서 수학 박사 학위를 받은 주제가 미분방정식에 대한 것이었고, 그가 건드린 미분방정식 문제 중에도 그 유명한 삼체문제 (three-body problem)가 있었을 정도입니다. 삼체문제에 푸엥카레의 업적은, '삼체문제의 해석적 해를 구할 수 없다'는 것을 증명한 것이었고, 이는 후에 카오스 이론의 시발점이 되는 업적이기도 했습니다. 

푸엥카레는 미분방정식에 대한 연구를 지속하면서, 동적 시스템에 대한 업적도 많이 남겼는데, 특히, 연속 시간 상의 2차원 동적 시스템 (2D dynamic systems in continuous time domain)의 경로 추적에 대한 중요한 정리를 남겼으니, 그것이 바로 푸엥카레-벤딕손 정리 (Poincaré–Bendixson theorem)입니다. 이 정리는 푸엥카레가 명확하게 증명하지는 못 했고, 대략 20년 후에 노르웨이의 수학자 벤딕손 (Ivar Otto Bendixson)이 마무리하여 증명한 정리입니다. 이 정리의 핵심 내용은 바로, 연속 시간 상의 2차원 동적 시스템은 카오스 상태가 될 수 없다는 것이었습니다. 이를 기반으로, 랴푸노프 안정 고리 (Lyapunov stable limited cycle)가 언제 생길 수 있는지를 해석적으로 판단할 수 있는 기준이 마련되었습니다. 공간 상에 어떤 특정한 점을 하나 생각해 봅시다. 이 고정점으로부터 아주 가까운 지점에서 출발한 어떤 점의 경로가 이제 고정점까지의 거리 ...