지금까지 내적 이야기를 쭉 했는데, 이번에는 차원을 한 개만 늘려보자. 3차원으로 가는 것이다. 제 그림 실력이 좀 딸리니 발로 그린 그림 퀄리티는 좀 양해를 부탁드린다.

 

지난 글에서 어떤 두 벡터 간의 내적은, 한 벡터에서 다른 벡터에 수선의 발을 내렸을 때, 원점부터 그 수선의 발까지의 길이와 같다고 말했었다. 여기에는 사실 상당한 단순화가 들어가 있지만, 이런거 따지기 시작하는 순간부터 영 재미없어지니 지금은 한켠으로 좀 미뤄놓고. 오늘은 이걸 이용해서 3차원상의 점을 2차원상에 투영시키는 연습을 한 번 해보려고 한다.

 

숫자를 단순화시키기 위해 xyz 세 축으로 구성된 3차원 공간상에 (1, 1, 1)이라는 점을 한 개 잡아보자. 이제 이 점을 x, y 두 개의 축이 이루는 평면 상으로 그대로 수직으로 떨어뜨릴 것이다. 사실 이것도 일종의 수선의 발이라 할 수 있을 것이다. 직관적으로 당연하게도, 떨어진 점의 좌표는 (1,1,0)이 될 것이다. x와 y좌표는 그대로 있고, z좌표만 0이 되는 것이다. 그런데 이 점을 어떻게 하면 좀 덜 직관적이게, 좀 더 수학적으로 그럴듯하게 있어 보이게 얻을 수 있을까? 지금부터 그 얘기를 좀 해 보자.

 

이제부터는 투영된 점 (1,1,0)에 대해 좀 생각해 보자. 사실 이 점은, 아니 벡터는 (점이 있으면 그 점과 원점을 이어서 언제나 벡터를 만들 수 있으므로, 사실 점이나 벡터나 그게 그거다.) 다시 x축과 y축에 각각 ‘투영’시킬 수 있다. 다시 한 번 당연하게도, 그 투영된 점들은 각각 (1,0,0)과 (0,1,0)이 될 것이다. 그런데 생각해 보면 (1,1,0)이라는 점 자체가 사실 (1,0,0)과 (0,1,0)의 합으로 표현된다는 걸 알 수 있다. 그렇다. 어떤 점은 그 점에서 다른 축들에 투영한 만큼을 다 합해서 완전히 복원할 수가 있다는 것이다. 그러면, (1,1,1)도 x축과 y축에 ‘투영’한 것들을 다시 더해서 어느 정도 복원할 수도 있지 않을까?

 

먼저 지...