다음의 글은 '수학의 즐거움, Enjoying Math' 유튜브 채널에서 받았던 질문에 대한 생각을 적은 글입니다. 

'허수의 직관에 대해 알려주세요. 학창 시절에는 이차 방정식에서부터 등장하더니, 나중에는 푸리에 변환 등의 개념에서도 등장하길래 저에게는 큰 의미가 있을 것 같습니다.' 라는 질문을 받았습니다. 그래서 이번 글에 대해서는 허수의 존재 의의에 대해 직관적으로 살펴보는 이야기를 해보려고 합니다. 

먼저는 핵심적인 사실들을 나열해보겠습니다. 일단, 허수 'i'는 i^2=-1 라는 방정식을 만족하는 해로서 정의되고, 이에 대해 아마 가장 처음 살펴보았던 것은 중고등학교 때 배웠던 이차방정식의 근의 유도, 즉 근의 공식으로부터 완전 제곱을 했던 과정에서 입니다. 이차방정식에 대해서 완전제곱을 해서 제곱을 벗겨내는 중간 과정에서 제곱이 마이너스 일이라는, 즉 제곱수가 음수가 되는 개념을 도입한 시점에서 그 근을 찾을 수 있게 되죠. 그런데 놀랍게도 2차 다항식 뿐만 아니라 복소수 계수를 갖는 임의의 차수를 갖는 다항식이 있으면 복소수를  언제나 해로 갖습니다. 이 놀라운 정리를 Fundamental Theorem of Algebra (대수학의 기본정리)라고 부릅니다. 그리고 이를 토대로 얻게 되는 결론은 복소수 계수를 갖는 임의의 다항식은 언제나 복소수 근을 토대로 1차식들의 곱으로 인수분해가 된다는 사실입니다. 이 사실들은 수학 분야를 막론하고 굉장히 근본적으로 사용 되는 내용들입니다. 복소수의 중요성을 아마 가장 중요하게 관찰한 것은 19세기의 베른하르트 리만 입니다. 리만은 타원적분 (elliptic integral)이라 불리우는 적분 이면의 의미들을 살펴보기 위해 복소수를 도입했고, 연구 끝에 그의 학위 논문으로 복소함수론 이라는 분야를 창시합니다. 오늘날 수학 전공 대학생들이 '복소해석학' (complex analysis) 라는 이름으로 배우는 학문 입니다. 그리고 복소수를 토대로 수학을 연구하는 과정에서 미적분학의 근간인 리만적분, 정수론의...