계속 얘기를 해 보겠습니다. 어디까지 얘기했냐면 자연수랑 정수 간의 1대1 대응이 놀랍게도 성립하고, 더 나아가서 정수와 유리수 간에조차 1대1 대응이 성립한다는 것입니다. 이제 그 다음에 할 얘기는 뭐냐면 그래서 이쯔 되면 유리수랑 실수의 경우 역시 일대일 대응이 될 거 같은데, 그렇지 않다라는 거예요. 다시 말하건대 유리수 집합과 실수 집합 간에는 1대1 대응 관계가 성립하지 않습니다. 멘붕의 포인트입니다.
이 그림을 익숙하게 여긴 시점에선 어떻게 생각했냐면, 먼저 자연수들이 쭉 있고, 그리고 정수들, 자연수 반대 방향으로 쭉 찍고 그리고 그 사이를 유리수로 메꾸고 조금 못 메꾼 나머지는 무리수로 메꾸는 듯한 그런 상상을 해왔는데 그게 과연 맞는 직관이었냐라는 거예요. 유리수의 경우는 우리가 본 것에 따르면 자연수와 일대일 대응이 되니 하나씩 셀 수 있었습니다. 반면에 실수는 카운팅을 할 수 없음을 확인 하려고 해요. 그러면 자연수랑 실수랑 대응이 될 수 없다는 얘기고 얘기는 유리수랑 실수랑 일대일 대응이 될 수 없다는 얘기가 될 거예요. 이해가 가시나요? 그리고 우리는 실수 전체 대신에 실수집합의 특정 부분 집합을 골라서 이 특정 부분집합을...
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